ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый вниманию читателей сборник можно рассматривать как своего рода научно-популярное наследие известного венгерского математика Альфреда Реньи (1921–1970). Советскому читателю уже знакомы два из составляющих его произведений – «Диалоги о математике» (М.: Мир, 1969) и «Письма о вероятности» (М.: Мир, 1970). Обе книжки не залежались на прилавках магазинов и давно уже стали библиографической редкостью. Их с удовольствием читали и читают люди разного возраста, различных интересов и с любой математической подготовкой, и каждая категория читателей находит в этих серьезных по существу, но необычных по форме работах много поучительного и даже неожиданного для себя. Кроме того, в настоящий том включены «Дневник. – Записки студента по теории информации», который увидел свет уже после безвременной кончины автора, а также несколько его популярных статей.
Литературная форма каждого из этих произведений различна: диалоги, письма, дневник, статья, но един литературный талант автора, который захватывает читателя: каждая вещь читается одним духом, за один присест. Все три основных произведения посвящены разным темам: «Диалоги» – вопросам методологии математики, «Письма» – первым шагам в развитии науки о случайном и «Дневник» – современному этапу развития науки, основным понятиям теории информации. Соответственно «возрасту» проблемы изменяется и уровень требований, предъявляемых к математическим познаниям читателя. В первом случае читатель, в сущности, может не иметь никаких математических познаний, во втором – уже требуется иметь представление о математике, а в третьем, где используется математическая символика, необходим некоторый навык в чтении формул.
Каждое из произведений Реньи касается не частных задач той или иной области математики, а ее принципиальных вопросов, ставит и достаточно глубоко освещает проблемы большого методологического значения. Именно этим объясняется успех книг Реньи не только на его родине, но и за ее пределами: в кратчайший срок они были переведены на многие европейские языки. Хочется надеяться, что их выход в свет на русском языке привлечет интерес нашей школьной и студенческой молодежи к методологическим, педагогическим и популяризационным проблемам математики. Это обстоятельство, несомненно, послужит толчком к появлению у нас новой, разнообразной по форме и содержанию, увлекательно написанной популярной литературы по математике.
Альфред Реньи родился 20 марта 1921 года в Будапеште в семье инженера. Его дед со стороны отца был известным литературным критиком и большим знатоком древнегреческой литературы. Надо думать, именно от него унаследовал внук литературные способности. Отец будущего ученого свободно владел многими европейскими языками.
Окончив в 1944 году университет в Будапеште и защитив первую диссертацию в Сегеде, Реньи поступил в докторантуру к академику Ю. В. Линнику (Ленинградское отделение Математического института им. В. И. Стеклова). Научная атмосфера Ленинграда, семинары Линника, беседы с ним, одаренность и трудолюбие самого Реньи позволили ему менее чем за год закончить докторантуру. Его диссертация была посвящена вопросам теории чисел, которой в ту пору особенно усиленно занимался Линник. Интерес Линника к теории вероятностей, возникший под влиянием работ московской школы, захватил и Реньи. Дружеские отношения ученика и учителя установились на всю их короткую жизнь, полную для обоих напряженной научной и литературной деятельности.
Возвратившись после защиты диссертации в Венгерскую Народную Республику, Реньи приступил к научно-педагогической работе в Дебреценском университете. За три года (1946–1948) он опубликовал 15 работ, преимущественно по теории чисел, а с 1949 года начал активно работать над задачами теории вероятностей и развитием теоретико-вероятностных методов в теории чисел. Этот год оказался знаменательным для Реньи: он был избран членом-корреспондентом Академии наук ВНР, получил профессуру в Дебреценском университете и был награжден орденом Кошута (в серебре).
В 1950 году при активном участии Реньи в Будапеште был создан Институт прикладной математики Венгерской Академии наук (позже он был переименован в Институт математики). Первым и бессменным (на протяжении двадцати лет) директором этого института стал Альфред Реньи. На этом посту он сделал очень многое для развития и укрепления венгерской школы математики. В частности, он начал издание Трудов института, которые стали авторитетным периодическим изданием, много усилий внес в дело развития и укрепления научных связей Венгрии и СССР.
С 1952 года Реньи заведовал кафедрой теории вероятностей Будапештского университета имени Этвеша. В ту пору раскрылся и педагогический талант ученого: он обновляет курс теории вероятностей, используя опыт советской школы; организует работу специальных семинаров и читает спецкурсы; объединяет вокруг себя талантливых учеников и товарищей по работе. Результаты не замедлили сказаться – именно с этого времени заявила о себе и стала быстро набирать силу венгерская школа теории вероятностей.
В 1954 году увидел свет написанный Реньи учебник по теории вероятностей (впоследствии он был переработан автором для немецкого, французского и английского изданий). В этом учебнике уже заметное внимание было уделено понятию информации, которая занимала ученого до конца его дней. В том же году за выдающиеся научные, педагогические и организационные заслуги Реньи был награжден орденом Кошута (в золоте).
Огромную по размаху научную, педагогическую и организационную работу Реньи сочетал с популяризацией научных знаний. Он выступал с докладами о математике перед школьниками, читал лекции по телевидению, писал популярные статьи в газетах и журналах.
Как рассказывал сам Реньи, дискуссии с коллегами о принципиальных вопросах математики привели его к мысли изложить эти беседы в виде диалогов. Такая форма позволила автору не только изложить собственные взгляды на предмет, но и противопоставить им иные точки зрения и привести доводы «за» и «против». Первоначально опубликованные в специальных журналах, эти диалоги затем были собраны вместе и в 1965 году изданы в виде небольшой книжки, которая тут же была переведена в ГДР, Румынии, Советском Союзе, США, Португалии и ряде других стран.
Вслед за этой книгой, принесшей Реньи широкую известность как популяризатору и ученому, занимающемуся философскими проблемами математики, он начал работать над другой популярной книгой – «Письмами о вероятности». Замыслами о ней Реньи поделился со мной в октябре 1966 года, когда я был гостем венгерских математиков в Будапеште. Как-то перед одной из своих лекций по телевидению, посвященной элементам теории вероятностей, он, рассказывая мне о том, что собирается публично выступить с демонстрацией игральных костей различных времен и народов, упомянул о замысле задуманной им книги. Надо полагать, идея написания такой книги и ее форма были навеяны его поездкой во Францию по случаю 300-летия со дня смерти Б. Паскаля, когда он побывал не только в Париже, но и в Клермон-Ферране, неподалеку от которого Паскаль проводил свои опыты.
В ноябре 1969 года я послал Реньи только что вышедшие в русском переводе «Диалоги о математике». В самом конце декабря в ответном письме он сообщил, что занят работой над новой популярной книгой – «Записками студента по теории информации», и выразил пожелание получить еще несколько экземпляров советского издания «Диалогов». Я поспешил выполнить его просьбу, но ответа уже не получил… Вскоре пришло официальное сообщение от венгерского Математического общества имени Бойяи о том, что 1 февраля 1970 года А. Реньи скончался. До последних дней он сохранял бодрость духа, усиленно работая над новой книгой, с которой теперь имеет возможность ознакомиться советский читатель, хотя она и осталась несколько не завершенной.
Преждевременный уход Реньи из жизни – тяжелая утрата не только для венгерской математической школы, но и для математики в целом. В его лице наука потеряла одного из блистательных своих представителей, а все мы – обаятельного, интересного, неизменно доброжелательного, страстно увлеченного своим делом человека.
Альфред Реньи умер в расцвете сил, не достигнув пятидесяти лет. Не долог был его жизненный путь, но он отмечен печатью большого таланта и удивительного умения систематически, напряженно и плодотворно работать. Список его работ (в том числе переизданий и переводов на другие языки) насчитывает почти 350 наименований. После него остались многочисленные ученики, которые продолжают начатые им работы, превосходный Институт математики и научные труды, в том числе книги. Все это еще долгие годы будет оказывать влияние на подрастающие поколения математиков.
Почти двадцать пять столетий математика существует не как сборник практических рецептов, а как дедуктивная наука, в которой огромное число содержательных результатов выводится логическим путем из ничтожно малого числа исходных предложений – аксиом. Естественно, что и в самой математике, и в философии с древнейших времен не могли не возникать и не обсуждаться определенные вопросы:
Что такое математика и каков предмет ее исследований?
Каково отношение математики к действительности?
Как возникают математические понятия?
Каким образом математическое абстрагирование естественнонаучной или инженерной проблемы позволяет проникать в суть явлений глубже и точнее, чем непосредственное наблюдение и экспериментальное изучение?
Какое значение имеет разработка специфического научного языка для развития как самой математики, так и ее применений к проблемам реальной жизни?
Все эти, а также многие другие вопросы продолжают волновать ученых и сегодня. Как и два с половиной тысячелетия назад, представители различных философских направлений отвечают на них по-разному.
Будучи убежденным материалистом, прекрасно разбираясь в естественных науках и превосходно владея современной математикой, Альфред Реньи в своих «Диалогах» на многие из перечисленных вопросов дает определенные и вполне обоснованные ответы. Воздействие этого произведения на читателя приобретает особую силу благодаря своеобразной форме изложения, к сожалению почти забытой современными авторами. Реньи не поучает читателя, не стремится вложить в него уже готовые собственные мысли, а как бы беседует с ним: заранее предугадывая возможные сомнения и возражения, он вкладывает их в уста собеседников. В результате читатель сам становится как бы участником диалога – предмет изложения перестает быть для него чем-то навязываемым извне и обсуждаемые проблемы воспринимаются уже как собственные.
Оказалось, что форма диалога, так удачно использовавшаяся древними, в частности Платоном, а позднее Галилеем и многими другими учеными, писателями и философами, превосходно подошла к обсуждаемым проблемам. Благодаря литературному дарованию автора, а также прекрасному знанию литературы, философии и истории произведение получилось по-настоящему увлекательным.
В каждом из диалогов имена собеседников, кроме синьоры Никколини, хорошо знакомы нам из истории науки. Однако здесь не следует искать исторической точности. История служит лишь канвой, фоном, на котором естественно развивается изложение. Этот исторический фон держит читателя в постоянном напряжении, и неважно, что к тому времени, когда Рим напал на маленькие Сиракузы, царь Герон уже почил в бозе. Несомненно, что и беседы Архимеда с Героном, о которой мы читаем во втором диалоге, не было, но она вполне могла состояться, поскольку ее содержание, идеи и положения о сущности прикладной математики, а также роли математики в человеческом познании, высказываемые Архимедом, близки духу его творчества.
Сейчас важнее, чем когда-либо, выяснить особенности прикладной математики. К сожалению, даже весьма серьезные математики порой интересуются лишь абстрактно-теоретическими вопросами, свысока взирая на математика-прикладника. Они полагают, что прикладными вопросами занимаются лишь те, кто не может внести свою лепту в теорию. Это не только ошибочная, но и вредная точка зрения. В наше время прогресс науки неотделим от достижений талантливых математиков-прикладников.
Математик-прикладник обязан вникнуть в существо реальной задачи, суметь выбрать адекватный математический аппарат, а если такового не существует, то разработать его, построить разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести из нее необходимые следствия, найти их прикладное истолкование и оценить соответствие модели реальному процессу. Подлинный прикладник не может ограничиваться каким-либо одним методом исследования и втискивать реальную проблему в известный ему набор математических средств. Для каждой проблемы он должен находить те математические средства, которые в наибольшей степени соответствуют ее природе. И прав Реньи, когда устами Архимеда говорит, что тот сделал шаг вперед по сравнению с чистыми геометрами, указав на нематематические следствия из теорем о параболе.
Проблемы, затрагиваемые в «Диалоге», приобретают сегодня особо актуальное значение: учащиеся средних школ и студенты вузов должны видеть в математических методах, понятиях и результатах не просто логически стройную систему знаний, но и возможности их использования для проникновения в тайны природы, управления техническими и экономическими процессами, лучшего использования природных ресурсов и более полного извлечения информации, содержащейся в опытных данных. Очень важно – и это должно быть одной из основных идей математического образования, – чтобы возможно большее число молодых математиков было способно сделать тот «шаг вперед», о котором говорит Архимед в книге Реньи.
В диалоге о приложениях математики Архимед высказывает важные и созвучные нашему времени мысли о месте и роли прикладной математики в познании природы и развитии самой науки. Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец. Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание предмета прикладного исследования. В его задачу входит создание математической модели изучаемого явления на базе имеющихся наблюдений и опытных данных, он обязан найти, а в ряде случаев и изобрести новые методы математического исследования. Последние годы дают нам многочисленные примеры того, как вопросы практики, порой весьма узкие и недостаточно четко сформулированные, способствовали созданию новых областей математических исследований и глубокому преобразованию наших взглядов на содержание и возможности математики.
В первом диалоге собеседником Сократа – непременного участника всех диалогов древнего философа Платона – является Гиппократ. Из курса элементарной геометрии читатель, наверное, помнит о гиппократовых луночках. Идя навстречу желанию Гиппократа углубить свои знания, Сократ постепенно открывает ему предмет математических исследований, пути образования математических понятий, истоки которых находятся в непосредственном восприятии окружающего нас мира. Собеседники затрагивают много острых вопросов, которые возникают как в среде учащихся, так и у тех, кто использует в своей работе математические методы. Например, они обсуждают, почему математическое абстрагирование – казалось бы, уход от рассмотрения непосредственного предмета исследования – позволяет больше и глубже узнать о некоторых сторонах изучаемого объекта.
Особенно актуален в наше время вопрос, который Сократ задает себе: «Уж не думаешь ли ты, Сократ, что метод, применяемый математиками при изучении чисел и геометрических фигур, пригоден только для нужд математики? Почему бы тебе не попытаться убедить людей в том, что о чем бы они ни размышляли – о насущных ли проблемах повседневной жизни или о государственном устройстве, – методы мышления остаются по существу такими же, какие применяют в своей области математики?»
В настоящее время, когда происходит бурный процесс математизации наших знаний, этот вопрос приобретает особый интерес. Современная организация производства и торговли, биология и медицина, экономика и военное дело уже не могут оставаться на позициях полуинтуитивных представлений, неполно определенных понятий и нечетко сформулированных вопросов. Когда перед конструктором стоит задача создать автомат для управления технологическим процессом, для ее решения недостаточно одних общих идей и представлений. Машина не понимает, что значит фраза «варить сталь до готовности». Необходимы точные указания условий прекращения процесса. Точно так же для автомата, который должен контролировать температуру, недостаточно одного указания о прекращении нагревания в случае аварийной ситуации.
С требованиями точных количественных методов описания самых разнообразных процессов приходится сталкиваться буквально во всех областях человеческой деятельности. Крайне важно приучать молодежь к тому, чтобы она не только познавала формальные математические сведения, но и овладевала умением применять их к изучению явлений природы и процессов, с которыми сталкивается на практике. Математика в сознании учащихся должна быть не просто системой знаний, оторванной от жизненных задач общества, а полнокровным методом исследований, неразрывно связанным с задачами практики, мощным орудием познания окружающего нас мира.
Третий диалог дополняет первые два. В нем автор останавливается на таких важных идеях, как необходимость разработки математических методов движения, построение математической теории случайных явлений, невозможность исследования законов природы в отрыве от математики и ее специфического языка. Мысль Галилея о том, что великая книга природы написана на математическом языке и потому прочесть ее может только тот, кто знаком с ее знаками, за столетия, прошедшие со времени Возрождения, нашла множество блестящих подтверждений. Сейчас же нам важно подчеркнуть, что по мере возникновения новых задач познания природы само содержание математики не может оставаться неизменным. Оно, подобно живому организму, развивалось и развивается: на математическом древе появляются новые ветви, вырастают новые корни. Об этом в третьем диалоге рассказывает Галилей на примере начал теории вероятностей.
Вряд ли нужно доказывать, что в науке особенно важны точность и ясность выражений. Научный язык не должен создавать дополнительных трудностей при восприятии сообщаемой информации. Без этого требования не может быть науки как системы знаний, не может быть уверенности в том, что определенное утверждение или предположение не было искажено в процессе рассуждений. Научное изложение должно быть кратким и вполне определенным. Именно поэтому наука вынуждена разрабатывать свой собственный язык, способный максимально точно передавать свойственные ей особенности. Математическая символика как раз и является таким языком, своего рода стенографической записью абстрактной мысли. Она не оставляет места для неточности выражений и расплывчатых толкований. Но этого мало – математическая символика позволяет автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов, сжимать запись информации, делать ее обозримой и удобной для последующей обработки. Она дает большие возможности и для общения с автоматом. Именно математике как языку науки и посвящен третий диалог.
Уже само название «Письма о вероятности» указывает на своеобразный литературный жанр: всё, что хочет сообщить автор читателю, он излагает в виде писем своего героя. В данном случае этим героем является великий Блэз Паскаль, чье имя вошло в историю математики, физики, литературы и философии. Иная литературная форма, но все то же ее совершенство, а тема – возникновение теории вероятностей.
К XVI веку в естествознании трудами ряда ученых, и в первую очередь Галилео Галилея, были заложены основы детерминистско-механистического понимания закономерностей окружающего нас мира. Позднее эту точку зрения развивали Ренэ Декарт и его последователи. Пожалуй, наиболее яркое выражение этих идей строгого детерминизма мы находим в известном труде Пьера Лапласа «Опыт философии теории вероятностей». На второй странице этого труда содержится такое утверждение: «Все явления, даже те, которые по своей незначительности как будто не зависят от великих законов природы, являются следствиями столь же неизбежными этих законов, как обращение солнца». И далее: «Таким образом, мы должны рассматривать настоящее состояние вселенной как следствие ее предыдущего состояния и как причину последующего.
Ум, которому были бы известны для какого-либо определенного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движение величайших тел вселенной наравне с движением легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором».
Такое сведение качественно различных закономерностей мира к вполне детерминистическому взаимодействию обедняет истинную картину мира, и отрицание случайного, к которому сводилась такая концепция, не приводит к действительному исключению случайного из арсенала необходимых средств познания окружающих нас явлений. Случайное остается случайным и продолжает играть свою роль, даже если великие исследователи отрицают за ним действительное его существование. И сам Лаплас был вынужден разрабатывать теорию вероятностей как метод количественного изучения случайных явлений. Со времен Лапласа, а тем более Паскаля роль случайного в естествознании и в практической жизни резко возросла. Недаром современная физика считает, что все законы, которым подчиняются физические явления, носят статистический характер.
То, что случайные явления в реальном мире представляют собой не исключение, а правило, было замечено еще в древности. Об этом прекрасно говорит Реньи. Попытки математически подойти к изучению случайных явлений делались задолго до Паскаля и Ферма. Во всяком случае, факты устойчивости относительных частот случайных событий, связанных с демографическими явлениями и вопросами снабжения продовольствием больших масс людей, были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме. Изучать случайные явления с помощью точных методов пытались Кардано и Галилей. Однако начало теории вероятностей как особой науки положила только переписка Паскаля и Ферма. К тому времени процесс научного познания уже победил; научное мышление уверенно одолевало схоластику теологов, и свободный полет творческой мысли неизбежно приводил к одному из основных вопросов познания: каковы типы закономерностей, господствующих в Природе? Нет ли наряду с механистическим детерминизмом детерминизма более общего, позволяющего с помощью количественного анализа охватывать явления природы шире и глубже?
На эти вопросы теперь даны определенные и положительные ответы: закономерности теории вероятностей дают нам детерминизм более широкого типа, который в качестве предельного случая включает детерминизм жесткий, в реальных явлениях наблюдаемый лишь приближенно.
Начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса в научный обиход вошли первые понятия теории вероятностей – математической науки о случайных событиях и их вероятностях. Эти понятия формировались в значительной степени на примерах изучения азартных игр, но создатели начал теории вероятностей отчетливо понимали общее натурфилософское значение своих рассмотрении. Об этом прекрасно сказано у Реньи в заключительной части четвертого письма: «…в мире господствует случай и одновременно действуют порядок и закономерность, которые формируются из массы случайностей согласно законам случайного. Вот почему я и придаю такое значение выяснению понятия вероятности и интересуюсь неразрывно связанными с этим вопросами. Разумеется, мне нет нужды объяснять Вам, что с самого начала, как только мы начали переписку по поводу этих проблем, и Вы и я знали, что речь идет о вопросах куда более серьезных, чем игра в кости».
Заметим, что эта же мысль, но только высказанная другими словами, содержится в трактате Христиана Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» (1660): «…Я полагаю, что при внимательном изучении читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Последующее развитие науки в полной мере подтвердило эту точку зрения.
Задавшись целью рассказать о начальном периоде формирования теории вероятностей как математической науки, Реньи решил вести рассказ от имени одного из ее творцов – Блэза Паскаля. С этой целью он создал четыре вымышленных письма Паскаля Пьеру Ферма. При этом он постарался, приблизиться не только к литературному стилю Паскаля, но и к возможному кругу интересовавших ученого проблем. Несомненно, что тем самым Реньи сознательно лишил себя возможности рассказать о многих более поздних направлениях развития, найденных глубоких связях теории вероятностей с естествознанием, инженерным делом, экономикой, организацией производства и пр. Он лишил себя также возможности выявить место теории вероятностей в современной науке, ее роль в процессе создания научной картины мира. Однако такое ограничение имело и свои преимущества – оно дало автору простор для выяснения центральных философских вопросов теории вероятностей. Речь, собственно, идет исключительно о понятии вероятности случайного события, выяснении законности рассмотрения субъективных вероятностей и резкой критике такого подхода.
Следует отметить такт, с которым Реньи отстаивает диалектико-материалистическую точку зрения на развитие человеческого знания. Заслуживает упоминания и та настойчивость (но отнюдь не навязчивость), с которой он отстаивает тезис, согласно которому ученый-естествоиспытатель в вопросах науки, пусть даже стихийным путем, но непременно становится материалистом. Достаточно вспомнить беседу Паскаля с Митоном (четвертое письмо).
На мой взгляд, Реньи удалось создать превосходное и глубокое философское произведение. Оно волнует читателя и позволяет ему ознакомиться с особенностями эпохи, литературным стилем великого ученого-гуманиста Блэза Паскаля и с теми противоречиями, которые раздирали его, ибо в нем причудливо сочетался глубокий мыслитель и исследователь Природы и одновременно фанатически религиозный человек. Реньи знаком со своеобразием литературного стиля Паскаля и в вымышленных письмах тонко ему подражает, широко используя характерные для последнего длинноты и многократное возвращение к одному и тому же предмету обсуждения. При этом вся небольшая книга основана только на тех произведениях, которые волновали в ту пору научные и литературные круги. И в то же время затронутые в письмах вопросы глубоко современны и постоянно возникают в том или ином виде и теперь – как в философских и математических трактатах, так и в университетских лекциях и на диспутах ученых. Подход, избранный Реньи, позволил ему показать тот тяжкий путь, который проходит человечество от незнания к знанию и от знания неполного к знанию более полному.
Нельзя не отметить и превосходных литературных находок автора: письма Труверьена (Ничего-не-нашедшего) не случайно присланы из Химеры первого апреля, а сам Труверьен является профессором Университета Контеблэ (Голубая сказка).
Тема последней книги «Трилогии о математике» – «Записки студента по теории информации» – относится уже к сегодняшнему дню математики. Первые шаги теория информации сделала каких-нибудь сорок лет назад, но черты развитой отрасли науки ей придали лишь десятилетие спустя Клод Шеннон и другие исследователи. С тех пор теория информации бурно развивается, одновременно находя применение в самых разнообразных областях знания.
В «Дневнике» Реньи стремился как бы проанализировать процесс познания и показать молодежи и преподавателям необходимость и важность глубокого осмысления новых идей и понятий на привычных представлениях. Нельзя говорить, что что-то изучено, если оно не подвергнуто внутреннему переосмыслению, если изучающий не попытался разобраться в свежих идеях на доступных ему примерах, с которыми он сроднился, которые ему близки и позволяют с неожиданной стороны осветить новые представления. Мнимый автор «Дневника» старается осмыслить идеи и понятия теории информации, прибегая к широкоизвестной игре в отгадывание задуманного слова по нескольким вопросам. Эта игра сопровождает все рассуждения Бонифация Доната и позволяет читателю свыкнуться с основными понятиями теории информации.
Отдельные замечания Бонифация Доната касаются педагогического процесса. Реньи сумел посмотреть на него не с позиции обучающего, а с позиций обучающегося. Именно этим объясняется тот факт, что Бонифаций Донат после каждой лекции, стремясь вникнуть в ее содержание, неизменно обращается к игре «Бар-Кохба». Он сам задает себе вопросы по поводу услышанного и постепенно находит на них ответы. Такой метод позволяет не только лучше усвоить материал лекций, но и выработать свой собственный подход. Познание становится активным.
Этот момент следует учитывать каждому преподавателю. Ведь нередко случается, что во время занятий учащиеся о чем-то переспрашивают и в ответ на свой вопрос слышат те же слова, что и прежде. Как правило, это происходит не от того, что они их не расслышали первоначально, а просто по какой-то причине сказанное не дошло до их сознания. Что же может добавить повторение того, что уже не было понято? Вот почему при повторном объяснении непременно следует найти новые слова, новый аспект подачи, который пробил бы путь к сознанию учащегося.
А вот что написал наш студент о манере изложения профессора: «Насколько я могу судить, наш лектор придерживается метода, состоящего в постепенном разъяснении сложных понятий. …Этот метод (хотя он и необычен) – обладает неоспоримыми преимуществами, главное из которых состоит в том, что он приучает аудиторию мыслить самостоятельно, критически».
Несомненно, что основная цель обучения состоит не в том, чтобы набить память учащегося возможно большим количеством знаний, а в том, чтобы научить его мыслить, находить подход к решению вопросов, на которые еще нет ответа, замечать пробелы как в собственных, так и в чужих рассуждениях и восполнять их. И это следует делать на всех ступенях обучения – от детского сада до аспирантуры, до самостоятельного совершенствования знаний.
Очень интересны и своевременны суждения Бонифация Доната об экзаменах. Поскольку эти мысли в какой-то мере близки моим собственным, которые я неоднократно высказывал как в частных беседах, так и на ученых советах, я надеюсь, мне не поставят в вину цитату: «В последнее время много говорилось о необходимости сократить число экзаменов. Думаю, что основная беда все же не в числе экзаменов, а в их характере. На мой взгляд, экзамены должны быть не отчетом студентов о том, что они успели наспех выучить в последние дни перед экзаменом и что затем почти бесследно изгладится из их памяти при подготовке к очередному экзамену, а проверкой умения мыслить самостоятельно и выявления той части знаний, которая навсегда запечатлена в сознании экзаменуемого…».
Размышления Бонифация Доната о том, чему следует учить в университете, заслуживают самого пристального внимания, поскольку в наши дни математики занимаются не только научной и педагогической работой в области самой математики. Значительная часть выпускников математических факультетов идет работать в заводские лаборатории, в нематематические институты, и несомненно, что подготовка в университете должна облегчить им вхождение в прикладную тематику. Показать математику в действии как элемент познания процессов природы, экономики и техники – вот один из обязательных элементов университетского обучения математике.
Однако не педагогические проблемы главное в последней работе Реньи.
«Дневник» посвящен выяснению основного понятия теории информации – количества передаваемой информации. Форма, к которой прибегнул автор, своеобразна и удивительно интересна, и можно только сожалеть, что преждевременная смерть не позволила завершить книгу. Это сделали его ученики и друзья.
В настоящий сборник включены также четыре статьи А. Реньи. Одни из них и задуманы были как научно-популярные очерки, другие родились из докладов на международных конференциях. Но какую бы задачу ни ставил перед собой автор, форма их неизменно остается доступной широкому кругу читателей, а существо касается основополагающих сторон рассматриваемых вопросов.
Азартные игры были предметом многочисленных серьезных математических исследований. В истории науки они неоднократно сообщали первичный толчок появлению новых научных идеи. Лет пятнадцать назад в печати появились сообщения об одном молодом математике, который нашел стратегию, неизменно приводящую его к выигрышу. В очерке «Азартные игры и теория вероятностей» Реньи рассказывает об этом эпизоде. Для нас здесь интересен не столько факт открытия выигрышной стратегии для вполне определенных условий, сколько средства, позволившие это сделать, – то, как научное мышление при точной формулировке задачи помогает находить целесообразную линию поведения. Свою задачу автор видит в том, чтобы пробудить у читателя потребность во всех жизненных ситуациях находить оптимальное решение.
Вопросы, затронутые в «Заметках о преподавании теории вероятностей», сейчас интересуют очень многих, и весьма полезно узнать мнение на этот счет крупного ученого и педагога.
Однако наряду с тремя основными целями, которые автор считает необходимым преследовать в преподавании теории вероятностей, следует отметить еще одну, быть может важнейшую, – расширение представлений обучающихся о закономерностях, с которыми приходится сталкиваться при изучении окружающего нас мира.
Литература о числах Фибоначчи огромна. А. Реньи в «Вариациях на темы Фибоначчи», отправляясь от классической задачи, дает еще четырнадцать дополнительных интерпретаций, освещая числа Фибоначчи с новых, а порой и неожиданных позиции.
Очерк «О математической теории деревьев» посвящен важной дисциплине прикладной математики – теории графов, точнее, одному из ее разделов – теории «деревьев». Он был подготовлен в качестве доклада на традиционных Роуз-болловских чтениях в Кембридже. Реньи вводит читателя в круг исследований, которые тесно связаны с многими областями естествознания, теорией информации, исследованием операций, и показывает прикладные возможности теории деревьев.
В настоящем издании переводы произведений Реньи осуществлены разными лицами. «Диалоги о математике» впервые увидели свет на английском языке, и именно с этого издания был сделан русский перевод Д. Б. Гнеденко и Е. А. Масловой (М.: Мир, 1969). Вышедшее впоследствии венгерское издание несколько отличается от английского. Перевод его осуществил Ю. А. Данилов. Советскому читателю предлагается объединение обоих этих вариантов, поскольку так удалось с наибольшей полнотой выразить замысел автора. «Письма о вероятности» переведены с венгерского Д. Саасом и А. Крамли в бытность их аспирантами МГУ (М.: Мир, 1970). Перевод с венгерского «Дневника» и статей выполнен Ю. А. Даниловым. Переводчики с любовью отнеслись к авторскому тексту, и я надеюсь, что советский читатель сможет по достоинству оценить не только содержание и форму произведений Реньи, но и их труд.
Б. ГнеденкоРеньи А.
Трилогия о математике. (Диалоги о математике. Письма о вероятности. Дневник. – Записки студента по теории информации.) Пер. с венгер. / Под ред. и с предисл. акад. АН УССР проф. Б. В. Гнеденко. – М.: Мир, 1980. 376 с. с ил. (В мире науки и техники)
Rényi Alfréd
Dialógusok a matematikáról
Akadémiai Kiadó, Budapest, 1967
Levelek a valószínűségről
Akadémiai Kiadó, Budapest, 1969
Napló az információelméletről
Gondolat, Budapest, 1976
В сборник включены основные научно-популярные произведения известного венгерского математика Альфреда Реньи: «Диалоги о математике», «Письма о вероятности», «Дневник. – Записки студента по теории информации», а также четыре статьи: о теории вероятностей, о ее преподавании, о числах Фибоначчи и о математической теории «деревьев».
Издание рассчитано на широкий круг читателей.
OCR: fir-vst, 2015
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
